La geometria della natura: i frattali

Conciliare il rigore della matematica con il caos della natura non è semplice, ma grazie ai frattali la scienza è riuscita a trovare un meraviglioso punto di contatto; da qualche decennio disponiamo di nuove conoscenze, di una geometria più adeguata a descrivere le forme della natura, come le nuvole o le montagne.

Per gran parte dei 2000 anni precedenti, dopo Euclide, il presupposto prevalente è stato che per valutare gli oggetti naturali fosse possibile decostruirli trasformandoli in aggregati di figure più semplici e note, come cerchi, ellissi, poligoni, ecc., per gli oggetti bidimensionali, coni, cubi, sfere, ecc., per gli oggetti tridimensionali.  

Tuttavia, nel 1975 il matematico di origine polacca Benoît Mandelbrot, ricercatore presso IBM, attirò l'attenzione su figure non uniformi in cui si ripetono forme più grandi e forme più piccole, Mandelbrot li chiamò frattali dal latino fractus ossia “spezzato”, oggetti di dimensione anche non intera.

La sua opera innovativa poggiava sui risultati ottenuti da studiosi precedenti come quelli dei tedeschi K. Weierstrass e G. Cantor, dello svedese H. von Koch, dei francesi H. Poincaré e G. Julia e del polacco Sierpinski, tutti studi piuttosto recenti, diciamo successivi alla metà del 1800.  

Ma cosa caratterizza un oggetto frattale dal 'solito' oggetto geometrico? Gli oggetti frattali presentano auto similarità, o simmetria per dilatazione, cioè le parti che compongono la figura sono simili alla figura stessa, alla figura nel suo intero. L'aggettivo 'simili' va inteso un po' come nei triangoli, stessa forma ma dimensioni diverse. L'effetto visivo che ne consegue è legato all'invarianza di scala, in mancanza di riferimento alla scala di grandezza non riusciamo dall'immagine a distinguere se stiamo osservando un oggetto di piccole dimensioni da vicino, o uno più grande, da lontano.

Così in una spugna o in un abete o in una pianta di felce: un rametto di felce, dilatato e duplicato, si confonde con l'intera pianta, ma anche una catena montuosa ci apparirà ugualmente irregolare se la osserviamo con differenti scale, fino ad osservarne, da vicino, un singolo masso.

Sembra che la natura simpatizzi per alcune strutture, come se le avesse codificate e ripetesse alcuni schemi tante volte, in piccolo e in grande; ad esempio hanno struttura frattale i broccoli ed i cavolfiori,

Una foto di broccoli per apprezzare il concetto di auto similarità

ma anche, dentro di noi e all'interno degli animali, sono frattali organi efficientissimi come i polmoni ed i vasi sanguigni, tanta superficie in poco volume (i polmoni umani hanno la superficie di un campo da tennis in poco spazio, i vasi sanguigni raggiungono ogni angolo del nostro corpo per scambiare ossigeno e anidride carbonica ma occupano solo il 3% del volume corporeo)!

La superficie della luna? No, è mollica di pane

Attenzione, questo non significa che tutti gli oggetti siano frattali: una sedia non è formata da tante piccole sedie, ma neanche un muro di mattoni o una matrioska lo sono. Gli oggetti frattali della natura presentano auto similarità e duplicabilità di ogni loro parte e per molti livelli, i frattali della matematica invece sono dei modelli e come tali presentano auto similarità di ogni parte ma all'infinito.

Alla fine degli anni '70 Mandelbrot ha inventato un frattale denominato insieme di Mandelbrot, di bellissima complessità esso manifesta auto similarità su qualsiasi scala. L'insieme di Mandelbrot ha una struttura straordinariamente elaborata, ha un contorno assai complesso ed infinitamente contorto e se si ingrandisce una qualsiasi parte, per quanto piccola, si ottiene una copia dell'insieme stesso. L'insieme di Mandelbrot genera l'immagine di isole dal fascino barocco, in realtà determinate da una breve formula matematica z · z + c, con z e c numeri complessi e per quei punti la cui successione non diverge all'infinito.

La reiterazione opera come la ripetizione di un tema musicale, con piccole variazioni, e quello che ne esce non è ancora stato compreso appieno.

Una bella rappresentazione al computer di un “Insieme di Mandelbrot”

Diceva Mandelbrot: “il nostro cervello apprezza la ripetizione di certi schemi [...], parte della bellezza sta nel riconoscere tali schemi ripetitivi e nel comprendere che non sono perfetti”. Pittori e artisti hanno intuito e compreso tali meccanismi prima che i matematici li modellizzassero, vediamo nell'immagine seguente una delle opere del pittore giapponese Hokusai, l'occhio e la mente di Hokusai scorgevano sicuramente questi schemi nella natura.

“La grande onda di Kanagawa” - 1831 - K. Hokusai

Voglio accennare con poche immagini agli studi ai quali ha attinto Mandelbrot, prima di portarci per mano in questo nuovo mondo, è evidente che la disponibilità di computer con capacità grafiche e di linguaggi di programmazione ricorsivi hanno permesso a Mandelbrot di compiere un salto in avanti.

 1872 Funzione di Weierstrass

Weierstrass aveva formalizzato il concetto di 'funzione continua'. Costituita interamente da spigoli, per quanto venga ingrandita, la funzione di Weierstrass non appare mai liscia. All'epoca fu considerata un'anomalia matematica. 

1883 Insieme di Cantor  

Cantor voleva dimostrare come poter creare una linea che non fosse mai continua e avesse lunghezza zero. Costruito con l'asportazione ripetuta della terza parte centrale da una successione di linee, l'insieme di Cantor crea una serie di intervalli.

Immagine animata di Cristophe Dang Ngoc Chan

1904 Fiocco di neve di Koch

La ripetizione di un motivo triangolare con dimensioni sempre più piccole genera una figura sempre più intricata, detta curva di Koch o “fiocco di neve di Koch”.

1916 Triangolo di Sierpinski

Aggiungendo triangoli dentro triangoli si crea una configurazione infinitamente merlettata. Con altro procedimento si può ottenere la figura attraverso una serie di rimozioni.

1918 Insieme di Julia

Julia studiò l’auto similarità quando cominciò a tracciare un piano complesso (il sistema di coordinate basato sui numeri complessi) immettendo un valore in una funzione, ottenendo un risultato e inserendo poi tale risultato nella funzione stessa. Julia scoprì che, dato un numero complesso, elevandolo al quadrato, sommando una costante e poi ripetendo il procedimento, alcuni valori iniziali divergevano all’infinito, altri convergevano verso un valore finito.

La geometria frattale è il principio che lega tra loro molte delle discipline di studio più rilevanti. Con i frattali la scienza è riuscita a codificare la natura in modo efficiente, a coglierne le somiglianze ed a quantificarne l'irregolarità (tecnicamente la 'dimensione frattale').

Abbiamo già discusso di alcuni aspetti legati al mondo dell'arte, la costruzione di oggetti e architetture più naturali (pensiamo alle opere di Antonio Gaudì) ci permetterebbe di vivere in un mondo ancora più bello e più in armonia con la natura. Come spesso avviene per le scoperte tecnologiche, le conseguenze sono spesso inattese: nello studio delle fluttuazioni dei mercati finanziari il diagramma dei prezzi in un secolo con rilevazioni mensili ha evidenziato sorprendenti similitudini con quello dei prezzi dell'anno, con rilevazioni ogni ora. Auto similarità!

In medicina è ovviamente fondamentale poter ricreare organi umani, ma molte sono le applicazioni dei frattali alla ricerca medica, per esempio per comprendere il comportamento dei virus e lo sviluppo dei tumori, ma anche nello studio del ritmo del cuore: l'analisi degli ECG evidenzia tutt'altro che costanza nel ritmo ma, al contrario, la presenza di continui adattamenti, irregolarità e singolarità che i frattali stanno aiutando a spiegare. L'analisi frattale viene applicata allo studio delle interruzioni di corrente nelle reti elettriche, nell'implementazione di videogiochi, in meteorologia (mai pensato che i cicloni su vasta scala, su scala molto più piccola si ripetono fino a semplici raffiche di vento?), nello sviluppo di polimeri e materiali ceramici.

Al crescere del numero delle applicazioni è sempre più evidente che i frattali ci stanno aiutando a comprendere un mondo forse solo apparentemente caotico.

 25 righe Python per ottenere quest’animazione, dimensione 500 pixel, 5 livelli

* - dvd “I frattali di Mandelbrot' – Le conquiste della matematica, formule e teorie per capire il mondo

- “Il libro della matematica. Grandi idee spiegate in modo semplice” – Gribaudo – DK

- Python Master – Linux Pro Speciale n. 24 - Sprea

L'eclettico fra Luca Pacioli e la nascita della partita doppia

Ritratto di Luca Pacioli (1495) – attribuito a Jacopo de' Barbari

Siamo nel Rinascimento: la riscoperta di opere greche antiche portò ad un'età di cambiamento, preliminare all'età moderna. L'influenza degli studi classici è particolarmente sentita in ambito letterario e artistico, in matematica invece il periodo rinascimentale fu caratterizzato soprattutto dall'affermarsi dell'algebra e quindi, in qualche modo, in continuità con la tradizione medievale.

Viveva in quegli anni Luca Pacioli (Borgo Sansepolcro 1445 – Roma 1517), religioso, matematico ed economista, che scrisse il più famoso trattato di algebra del periodo, la Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalità. La Summa, la cui stesura venne completata alla fine del XV secolo, fu più influente che originale. Pacioli non era un matematico in senso stretto ma realizzò una grandiosa opera di compilazione di materiali appartenenti a quattro campi diversi della matematica: aritmetica, algebra, geometria euclidea elementare e... registrazione a partita doppia. La Summa era scritta in volgare e notevole è la qualità di molti disegni (ad esempio quelli sui solidi regolari) attribuiti nientemeno che a Leonardo da Vinci. L'opera venne pubblicata nel 1494, con l'editore veneziano Paganino Paganini - in quel periodo Venezia era il centro dell'editoria mondiale, vi si stampavano infatti la metà di tutti i libri pubblicati in Europa.

Il rombicubottaedro – illustrazione di Leonardo da Vinci

Pacioli per un certo periodo insegnò la matematica ai tre figli di un ricco mercante veneziano, era diventato uno di famiglia ed accompagnò messer Rompiasi in molti viaggi di affari rendendosi conto della crescente importanza dell'uso commerciale dell'aritmetica.

Il frate francescano era persona dai molteplici talenti, affascinato tanto dalla matematica pura quanto da quella applicata: vogliamo qui enfatizzare che nella Summa, in questa sorta di enciclopedia matematica rinascimentale, viene presentato in modo strutturato il concetto di partita doppia, già noto e divulgato nell'ambiente mercantile e che poi si diffuse per tutta Europa col nome di “metodo veneziano”.

Luca Pacioli è considerato il fondatore della moderna ragioneria, intesa come disciplina che si occupa della rilevazione dei fenomeni aziendali. Pacioli non fu un economista ed in realtà non inventò molto col suo Trattato di partita doppia, ma preparò un materiale ed utilizzò un linguaggio tecnico che poi sarebbero entrati a far parte della scienza economica.

I libri contabili usati dai mercanti veneziani erano un memoriale (il Brogliaccio), il Libro Mastro ed il Giornale. Nel capitolo dedicato al Giornale, Pacioli descrive come le operazioni vadano annotate con un numero progressivo ed usa i termini “per” e “a” per separare le due parti della registrazione, nel primo articolo descritto egli annota che il conto “cassa” esprime un'eccedenza e non può presentare valore negativo. I concetti di dare, di avere, di bilancio, l'uso di due sezioni contrapposte per segnare i crediti ed i debiti ma anche i costi ed i ricavi, la doppia contabilizzazione delle operazioni finanziarie ed economiche ai fini di un maggior controllo, il concetto di pareggio, il bisogno di un inventario per i beni mobili e immobili... l'esigenza di accortezza, chiarezza e diligenza nelle registrazioni sono tutti temi e principi alla base della moderna contabilità e che traggono, da qui, le loro radici.

* 'Storia della matematica' – C. B. Boyer

• https://it.wikipedia.org/wiki/Luca_Pacioli

• http://www.treccani.it/enciclopedia/luca-pacioli

I poliedri e la formula di Eulero

Si chiama poliedro la figura, la parte di spazio, delimitata dall'unione di almeno 4 poligoni, ciascuno appartenente ad un piano differente e nel quale ogni lato sia l'intersezione di due di questi poligoni.

I poliedri sono regolari se le facce sono poligoni tutti uguali, essi sono anche detti solidi platonici per la valenza simbolica ad essi assegnata dal filosofo greco Platone, i poliedri regolari sono: il tetraedro, il cubo (esaedro), l'ottaedro, il dodecaedro e l'icosaedro.

POLIEDRI REGOLARI 

 modelli 3D tratti da https://it.wikipedia.org/wiki/Solido_platonico

A volte conviene sviluppare i solidi in un piano, cioè riportarli su di uno stesso piano immaginando di 'aprirli' e di distenderne le facce, ciò facilita ad esempio il calcolo del perimetro e dell'area dell'intera superficie della figura.

Lo studio dei poliedri occupa un posto centrale nella geometria greca, si deve però a Cartesio e ad Eulero la scoperta di una curiosa proprietà che lega il numero dei vertici, il numero dei lati ed il numero delle facce di un poliedro semplice (cioè di un un poliedro senza “buchi”), che sia regolare o meno.

Dato un poliedro semplice, se chiamiamo V il numero dei suoi vertici, E il numero dei suoi lati (o spigoli), F il numero delle sue facce, allora si può dimostrare che:

V – E + F = 2

Così, nel semplice esempio di un cubo:

V – E + F = 8 – 12 + 6 = 2

ma non è richiesto che il poliedro sia regolare, come in questo esempio:

V – E + F = 9 – 18 + 11 = 2

Servendosi di questa formula si può anche dimostrare algebricamente che i poligoni regolari non possono essere più di cinque.

Il campo di validità di questa proprietà si estende ben oltre i poliedri della geometria elementare, con le facce piane e gli spigoli rettilinei; la formula riguarda solo il numero di vertici, spigoli e facce, si può applicare bene anche a poliedri con facce e spigoli curvilinei.

* "Che cos'è la matematica?" – R. Courant, H. Robbins – Universale Bollati Boringhieri

Il problema dei matrimoni stabili

Come ben sanno gli informatici, gli algoritmi sono procedimenti che risolvono un problema attraverso lo svolgimento di un numero finito di passi elementari, in un tempo accettabile.

Gli algoritmi ci consentono di risolvere molti problemi e sono alla base dell'ordine matematico dell'universo. Le nostre vite sono toccate quotidianamente da algoritmi spesso invisibili e la maggior parte di noi non ne è consapevole. Ci sono algoritmi che controllano quello che si legge, che monitorano i prodotti che acquistiamo, che prevedono il tempo atmosferico, che guidano i pacchi nei binari motorizzati di un magazzino, che fissano l'ordine degli aerei nelle piste di partenza, che fanno le ricerche in Internet, che ordinano milioni di dati in un database... banalmente c'è un algoritmo anche quando seguiamo una ricetta per preparare un dolce!

In questa sede parliamo di uno dei più importanti algoritmi di Matching, ovvero algoritmi di accoppiamento tra gli elementi di due insiemi.

Nel 2012 il premio Nobel per l'Economia è andato al matematico statunitense Lloyd Shapley, per aver ideato molti anni prima, unitamente al defunto collega David Gale, un procedimento, divenuto famoso come “l'algoritmo di Gale-Shapley” o “algoritmo dei matrimoni stabili”.

Negli anni '60 i due matematici affrontarono e risolsero il problema dell'associazione tra studenti e facoltà universitarie, ogni studente doveva trovare una sistemazione presso una facoltà e doveva restare soddisfatto anche se era rimasto escluso dalla facoltà che costituiva la sua prima scelta. Utilizzando il linguaggio dell'insiemistica, se A = ”insieme degli studenti” e B = ”insieme delle facoltà”, l'insieme delle coppie del matching ottimale costituisce un sottoinsieme del prodotto cartesiano AxB, ovvero l'insieme delle coppie nelle quali il primo elemento di ogni coppia appartiene al primo insieme ed il secondo elemento di ogni coppia appartiene al secondo insieme.

Dato per scontato che non sia possibile garantire l'ottimo, ovvero che ogni elemento dei due insiemi sia abbinato alla rispettiva prima scelta, è fondamentale però evitare delle coppie instabili, ovvero evitare assegnazioni nelle quali un elemento x del primo insieme preferirebbe y al suo partner attuale e un elemento y del secondo insieme preferirebbe x al partner assegnato (questo sarebbe causa di separazione!).

L'algoritmo da premio Nobel di Gale-Shapley garantisce la creazione di coppie stabili attraverso l'iterazione di due semplici passaggi: consideriamo due insiemi di uguale numerosità, quello delle donne (D) e quello degli uomini (U), allora D = {d₁, d₂, …, d_n} e U = {u₁, u₂, …, u_n}, dando un taglio maschilistico all'applicazione dell'algoritmo, nella prima fase le varie donne (elementi del primo insieme) dichiarano qual è la loro prima preferenza in termini di uomini (elementi del secondo insieme) e si creano delle coppie provvisorie sulla base della scelta degli uomini che hanno ricevuto 'delle proposte', evidentemente gli uomini scelgono l'unica o la preferita tra le gentili signore disponibili. Nella fase successiva le donne respinte dichiarano la loro 'seconda scelta' e gli uomini continuano a scegliere la miglior proposta ricevuta. Una volta accettata una donna, l'uomo non diventa più libero e potrà solo migliorare, scambiando la partner con una ritenuta migliore... alla fine delle iterazioni, quando tutti hanno un partner, si ottengono le migliori coppie possibili.

A chi ha riscontrato della misoginia nei passi precedenti faccio notare che è possibile scambiare i due insiemi in modo che l'applicazione dell'algoritmo inverta il tipo di ottimalità (l'uomo-ottimalità diventa una donna-ottimalità).

L'algoritmo di Gale-Shapley è usato in tutto il mondo: in Danimarca per l'assegnazione di bambini agli asili, in Ungheria per l'iscrizione di bambini alle scuole, a New York per la scelta dei rabbini alle sinagoghe, in Cina, Germania e Spagna per gli studenti delle università, nel Regno Unito l'algoritmo è stato il punto di partenza per elaborare un metodo ottimale per associare organi a pazienti bisognosi di trapianti... non è un'esagerazione affermare che molte persone devono la vita a questo algoritmo!

* dvd “Gli algoritmi che hanno cambiato il mondo” - Le conquiste della matematica, formule e teorie per capire il mondo

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